A. Bentuk Aljabar
1. Pengertian Variabel, Suku, Faktor,
Koefisien, Konstanta, dan Suku Sejenis
Perhatikan bentuk x + 3 dengan x
merupakan pengganti pada bilangan bulat! Jika x diganti - 2 , diperoleh x + 3 =
-2 + 3. Jika x di ganti 0, diperoleh x + 3 = 0 + 3. Jika x di ganti 100,
diperoleh x + 3 = 100 + 3. Simbol atau notasi x pada contoh di atas disebut
variabel.
Bentuk-bentuk seperti 2p2, x2-x+4, 2ax-1
dan (x+2)(x-5) disebut bentuk-bentuk aljabar. Bentuk-bentuk aljabar, seperti
2p2 artinya 2 x p x p. 2p2 adalah bentuk aljabar suku tunggal. Faktor-faktor
dari 2p2 adalah 2, p, p2, dan 2p. Faktor yang berupa konstanta disebut
koefisien.
Bentuk x2 – x - 4 disebut bentuk aljabar
suku tiga dengan x2, -x, dan -4 sebagai suku-sukunya.Koefisien dari x2 adalah 1
dan koefisien dari x adalah -1.
Pada bentuk aljabar 2ax - 1 dan x2 – x +
4, suku-suku 2ax dan –x adalah suku-suku dengan variabel yang sama, yaitu
x.Suku-suku seperti ini disebut suku-suku yang sejenis, sedangkan 2ax dan x2
adalah suku-suku dengan variabel yang berbeda dan suku-suku seperti ini disebut
suku-suku tidak sejenis.
2. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar
a. Menjumlahkan dan Mengurangkan Bentuk
Aljabar
Untuk memahami operasi penjumlahan dan
pengurangan pada bentuk – bentuk aljabar, perhatikan situasi berikut.
Dalam tas Ihsan terdapat 10 buku dan 7
pensil. Selanjutnya, ke dalam tas itu dimasukkan 2 buku dan dari tas itu
diambil 3 pensil. Dalam tas Ihsan tentu sekarang ada ( 10 + 2 ) buku dan ( 7 –
3) pensil atau 12 buku dan 4 pensil.
Jika dalam tas Ihsan banyak buku
dinyatakan dalam x dan banyak pensil dinyatakan dengan huruf y maka situasi tas
ihsan semula adalah 10x + 7y kemudian terjadi 2x – 3y sehingga situasi tas
Ihsan menjadi ( 10x + 7y) + ( 2x – 3y) atau (10 + 2) x + (7 - 3) y atau 12x +
4y.
Dari situasi di atas dapat dimengerti
bahwa penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya dapat dikerjakan
pada suku-suku yang sejenis dengan penjumlahan atau pengurangan koefisien pada
suku-suku sejenis.
Contoh :
Dua bentuk aljabar dapat dijumlahkan
atau dikurangkan bila kedua bentuk aljabar itu sejenis. Perhatikan contoh
berikut!
3x2 + 6x – 2x2 – 10x = 3x2 – 2x2 + 6x –
10x = x2 – 4x
Contoh Soal dan Pembahasan:
1. Jumlah dari 8x2 – 5x – 11 dan 20 + 5x
– 9x2 adalah ....
A. –x2 + 9
B. –x2 – 9
C. x2 + 9
D. x2 – 9
Pembahasan:
8x2 – 5x – 11 + 20 + 5x – 9x2 = 8x2 –
9x2 – 5x + 5x – 11 + 20
= –x2 + 9
Jawaban: A
2. Hasil pengurangan 3p2 – 7 oleh p2 –
3p – 2 adalah ....
A. –2p2 + 3p – 5
B. –2p2 – 3p + 5
C. 2p2 + 3p – 5
D. 2p2 – 3p + 5
Pembahasan:
3p2 – 7 – (p2 – 3p – 2) = 3p2 – 7 – p2 +
3p + 2
= 3p2 – p2 + 3p – 7 + 2
= 2p2 + 3p – 5
Jawaban: C
3. Hasil pengurangan 2p – p2 dari p2 – p
+ 3 adalah ....
A. 2p2 + 3
B. 2p2 – 3p + 3
C. 2p2 + p + 3
D. 3p2 + 3
Pembahasan:
p2 – p + 3 – (2p – p2) = p2 – p + 3 – 2p
+ p2
= p2 + p2 – p – 2p + 3
= 2p2 – 3p + 3
Jawaban: B
b. Perkalian Suatu Konstanta dengan Bentuk
Aljabar
Sebuah perusahaan akan memberi paket
lebaran pada setiap karyawan yang terdiri atas 1 kaleng biskuit, 2 botol sirup,
dan 10 bungkus mie instan. Jika perusahaan itu mempunyai 100 karyawan maka
perusahaan itu harus menyediakan 100 paket lebaran atau ( 100 x 1 ) kaleng
biskuit, ( 100 x 2 ) botol sirup, dan ( 100 x 10 ) bungkus mie instan. Jika x
menyatakan banyak kaleng biskuit, y menyatakan banyak botol sirup, dan z
menyatakan banyak mie instan. Maka dapat di tulis.
100 x x + 100 x 2y + 100 x 10z atau
100 x ( x + 2y + 10z ). Sifat apa yang berlaku terkait situasi ini ?
Pada himpunan bilangan bulat berlaku
sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a x ( b + c ) = ( a x b
) + (a x c ) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu : a x
( b - c ) = ( a x b ) – ( a x c ). Sifat ini akan dipakai untuk menyelesaikan
perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar suku dua.
Contoh :
1.
Tuliskan perkalian - perkalian berikut sebagai jumlah atau selisih
dengan menggunakan sifat distributif.
a.
4( 3x + 5y )
b.
5( 2p2q - 3pq2 )
Jawab :
a.
4( 3x + 5y ) = 12x + 20y
b.
5( 2p2q - 3pq2 ) = 10p2q - 15pq2
2.
Nyatakan bentuk berikut ke dalam bentuk perkalian suatu konstanta dengan
suku dua yang paling sederhana.
a.
4x - 12y
b.
24m + 40n
Jawab :
a.
4x - 12y = 4( x - 3y )
b.
24m + 40n = 8( 3m + 5n )
c. Perkalian dan Pembagian Dua Bentuk
Aljabar
Untuk melakukan operasi perkalian dan
pembagian dua bentuk aljabar, kita dapat memanfaatkan sifat distributif
perkalian terhadap penjumlahan sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan
bentuk aljabar. Coba kalian sebutkan sifat-sifat tersebut. Selain itu, kalian
pasti masih ingat bahwa a : b = c sama artinya a = b x c.
Contoh :
1.
Tulislah perkalian berikut dalam bentuk
jumlah atau selisih.
a.
4y( 2x + 3y )
b.
x( x2 – x + 1 )
Jawab :
a.
4y ( 2x + 3y ) = ( 4y . 2x ) + ( 4y . 3y )
= 8xy + 12y2
b.
x( x2 – x + 1 ) = ( x . x2 ) - ( x . x ) + ( x . 1 )
= x3 - x2 + x
Contoh : Perkalian
1.
Suku
1 dan Suku 2
a( b + c ) = ab + ac
–3x( 2x + 6 ) = –3x.2x – 3x.6
= –6x2 – 18x
2.
Suku
2 dan Suku 2
( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd
( x + 2 )( 2x – 5 ) = x.2x – x.5 + 2.2x
– 2.5
= 2x2 – 5x + 4x – 10
= 2x2 – x – 10
3.
Perkalian
Istimewa
( a + b )( a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab
+ b2
( a + b )( a – b) = a2 – b2
( a – b )( a – b) = (a – b)2 = a2 – 2ab
+ b2
(2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2 +
12x + 9
(3x – 5)2 = (3x)2 – 2.3x.5 + 52 = 9x2 –
30x + 25
(2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – 9 = 4x2 – 9
d. Pangkat dan Bentuk Aljabar
Pada Bab I telah dibahas bahwaan = a x a
x a x ..... x a , n bilangan bulat positif.
Hal itu juga berlaku untuk bentuk
aljabar seperti contoh di bawah ini.
Contoh :
1.
Carilah hasil perpangkatan berikut ini.
a.
( 3x )2
b.
( 2xy2z3 )3
Jawab :
a.
( 3x )2 = 3x . 3x = 9x2
b.
( 2xy2z3 )3 = 2xy2z3 . 2xy2z3 . 2xy2z3 = 8x3y6z9
B. Operasi Perkalian Bentuk Aljabar
1. Menyubstitusikan Bilangan pada variabel
Bentuk Aljabar
Suatu bentuk aljabar dapat ditentukan
nilainya jika variabel - variabel pada bentuk aljabar tersebut disubstitusikan
atau diganti dengan sembarang bilangan.
Contoh :
1.
Jika a = -2, b = 4 dan c = -1, tentukan nilai dari -3a2 + 2ab - 4c!
Jawab :
Untuk a = -2, b = 4 dan c = -1 maka,
-3a2 + 2ab - 4c = -3(-2)2 + 2(-2)(4) -
4(-1) = -12 – 16 + 4 = -24
2.
Perkalian Bentuk p (a + b + c) dan p (a + b - c)
Masih ingat bahwa p( x + y ) = px + py,
p( x – y ) = px - py, dan p( a + x ) = pa + px .Jika nilai x pada persamaan p(
a + x ) = pa + px diganti dengan ( b + c ) atau ( b – c ), maka:
·
Jika x diganti dengan ( b + c ) maka,
p( a + b +c ) = pa + p( b + c )
= pa + pb + pc
p( a + b + c ) = pa + pb + pc
·
Jika x diganti dengan ( b – c ) maka,
p( a + b – c ) = pa + p( b – c )
=
pa + pb - pc
p( a + b – c ) = pa + pb - pc
Menyatakan bentuk perkalian menjadi
bentuk penjumlahan disebut menjabarkan atau menguraikan.
Contoh :
Jika a = 2, b = -1, dan c = 1, tentukan
nilai bentuk aljabar berikut.
a.
3a + 3b - 3c
b.
2a + 4b - 8c
Jawab :
a.
3a + 3b - 3c = 3( a + b – c )
=
3( 2 + (-1) -1 )
=
3( 0 )
=
0
b.
2a + 4b - 8c = 2( a + 2b - 4c )
=
2( 2 + 2(-1) -4.1 )
=
2( -4 )
=
-8
3.
Perkalian Bentuk (a - b)(p + q)
Telah diketahui bahwa x( p + q ) = xp +
xq.Jika pada persamaan itu nilai x diganti dengan ( a – b ) maka diperoleh
( a – b )( p + q ) = ( a – b ) p + ( a –
b ) q
= ap – bp + aq – bq
( a – b )( p + q ) = ap – bp + aq – bq
Contoh :
Uraikan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a.
( 2x – 1 )( 3y + 2 )
b. ( 5y – 3 )( 3z + 7 )
Jawab :
a.
( 2x – 1 )( 3y + 2 ) = ( 2x – 1 ) 3y + ( 2x – 1 ) 2
= ( 2x.3y – 1.3y ) + ( 2x.2 – 1.2 )
= 6xy – 3y + 4x – 2
b.
( 5y – 3 )( 3z + 7 ) = ( 5y – 3 )3z + ( 5y – 3 )7
= ( 5y.3z – 3.3z) + ( 5y.7 – 3.7)
= 15yz – 9z + 35y – 21
4.
Perkalian Bentuk (a + b)(a – b)
Pada operasi perkalian berlaku persamaan
( a + b )x = ax + bx. Jika niali x pada persamaan tersebut diganti dengan ( a –
b) maka diperoleh
( a + b )( a – b ) = a( a – b ) + b( a – b )
= a2 – ab + ba – b2
= a2 – ab + ab – b2
= a2 – b2
( a + b )( a – b ) = a2 – b2
Contoh :
Tentukan nilai berikut.
a.
( p + 5 )( p – 5 )
b.
( 3x + 7 )( 3x – 7 )
Jawab :
a.
( p + 5 )( p – 5 ) = p2 – 52 = p2 – 25
b.
( 3x + 7 )( 3x – 7 ) = ( 3x )2 – 72 = 9x2 – 49
5. Bentuk (a + b)2
Perhatikan bahwa bentuk ( a + b )2 merupakan perkalian (
a + b ) dengan ( a + b ) sehingga,
( a + b )2 = ( a + b ) ( a + b )
= a2 + ba + ab + b2
=a2 + ab + ab + b2 ( ba = ab adalah
sifat komutatif terhadap perkalian )
= a2 + 2ab + b2
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Contoh :
Uraikan bentuk-bentuk berikut.
a. ( 3p + 2 )2
b. ( 4 + 3q )2
Jawab :
a.
( 3p + 2 )2 = ( 3p + 2 ) ( 3p + 2 )
= 9p2 + 6p + 6p + 4
= 9p2 + 12p + 4
b.
( 4 + 3q )2 = ( 4 + 3q ) ( 4 + 3q )
= 16 + 12q + 12q + 9q2
= 16 + 24q + 9q2
6.
Bentuk ( a – b )2
Perhatikan bahwa bentuk ( a – b )2
merupakan perkalian ( a – b ) dengan ( a – b ) sehingga,
( a – b )2 = ( a – b ) ( a – b )
= a2 – ba – ab + b2
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
Contoh :
Uraikan bentuk-bentuk berikut.
a.
( x – 3 )2 b. ( 2y
– 5 )2
Jawab :
a.
( x – 3 )2 = ( x – 3 ) ( x – 3 )
= x2 – 3x – 3x + 9
=
x2 – 6x + 9
b.
( 2y – 5 )2 = ( 2y – 5 ) ( 2y – 5
)
= 4y2 – 10y – 10y + 25
= 4y2 – 20y + 25
6.
Rabat (Diskon), Bruto, Tara, dan Neto
a. Pengertian Rabat (Diskon)
Istilah rabat dan diskon mempunyai
pengertian yang sama yaitu potongan harga pada saat transaksi jual beli. Namun,
terdapat perbedaan dalam pemakaian kedua istilah tersebut. Istilah rabat
digunakan oleh produsen kepada grosir, agen, atau pengecer sedangkan istilah
diskon digunakan oleh grosir, agen, atau pengecer kepada pembeli atau konsumen.
b. Pengertian Bruto, Neto, dan Tara
Pada suatu kaleng makanan tertulis neto
1 kg. Tetapi pada saat ditimbang beratnya 1,2 kg. Tulisan 1 kg tersebut
menunjukkan neto ( berat bersih ) makanan dalam kaleng . Hasil penimbangan 1,2
kg disebut bruto ( berat kotor ). Sedangkan bruto – neto = 0,2 kg disebut tara.
Dari uraian diatas dapat disimpulkan
sebagai berikut.
Bruto = neto + tara
Neto = bruto – tara
Tara = bruto – neto
Jika, diketahui persen tara dan
bruto maka untuk mencari tara digunakan rumus berikut.
Tara=Persen Tara x Bruto
7. Pajak
Jika melihat barang-barang di sebuah
toko, sering kita temui tulisan harga
belum termasuk PPN( Pajak Pertambahan Nilai ). Artinya, Jika harga suatu barang
Rp 100.000,00 maka uang yang harus dibayarkan oleh pembeli adalah Rp 100.000,00
ditambah PPN x Rp 100.000,00. Dari contoh tersebut kita dapat memahami istilah
pajak.
Pajak adalah sejumlah uang yang
dibayarkan seseorang ( rakyat ) kepada negara atau pemerintah untuk digunakan
bagi kepentingan rakyat. Ada berbagai jenis pajak, misalnya pajak penghasilan,
pajak pertambahan nilai, dan pajak bumi dan bangunan.
8.
Bunga Tunggal dalam Kegiatan Ekonomi
Jika menyimpan uang di bank atau
koperasi maka tiap bulan kita akan mendapatkan tambahan uang yang disebut
bunga. Bunga tabungan dihitung secara periodik, misalnya sebulan sekali atau
setahun sekali. Ada dua jenis bunga tabungan, yaitu bunga tunggal dan bunga
majemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung hanya berdasarkan besarnya
modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan
besarnya modal dan bunga
Tidak ada komentar:
Posting Komentar