BENTUK
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat allah swt.
Karena berkat dan karunianya penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan
baik dan tepat waktu. Penulis ucapkan terima kasih kepada orang tua penulis
yang telah memberikan dukungan waktu dan material. Tidak lupa juga penulis
ucapkan terima kasih kepada teman – teman yang telah memberi masukan dan saran
atas pembuatan makalah ini. Adapun isi
makalah yang penulis bahas adalah BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
Penulis menyadari bahwa makalah ini belum
sempurna.masih banyak kesalahan yang
terjadi disana – sini. Maka dari itu kritik dan saran yang membangun sangat
dibutuhkan penulis dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Akhir kata penulis ucapkan terima
kasih!
Kandang, 20 September 2015
Penulis
DAFTAR
ISI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Modul ini terbagi atas tiga kegiatan
belajar. Kegiatan belajar I, membahas
tentang bentuk pangkat bilangan negatif.
Pada kegiatan belajar II akan dipelajari tentang bentuk akar dan pangkat
pecahan, hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan,hubungan bentuk akar dan
pangkat pecahan beserta sifat-sifatnya, menyederhanakan bentuk akar, operasi
aljabar pada bentuk akar dan merasionalkan penyebut. Pada kegiatan belajar III membahas tentang
logaritma, pengertian logaritma dan sifat-sifat logaritma.
B.
Pokok Bahasan
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma.
BAB II
PEMBAHASAN
A.Bentuk
Pangkat
1. pangkat bulat positif
Kalian telah mengenal arti
pangkat bulat positif pada suatu bilangan real.
Selanjutnya akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat,
yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan pangkat negatif.
Bagaimana arti pangkat bulat positif ?
Jika a € R dan n € bilangan bulat positif,
maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an yaitu:
An = a x a x a x ....x a,
n buah factor
A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut
pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka a1
= a
Sifat-sifat
bilangan pangkat positif;
Jika m, n
€ A dan a € R, maka:
- am
x an = a m+n
- am
: an = am-n, m>n
- (am)n =
amxn
- (a
x b)n = an x bn
- (a
: b)n = an :
bn
Pembuktian Sifat-sifat bilangan pangkat positif
No.
|
Sifat-sifat
|
Bukti
|
Contoh
|
1.
|
am x an
= a m+n
|
am x an
= (a x a x a x…x a) x (a x a x a x…x a)
m
faktor n factor
= a x a x
a x a x a ……x a
(m + n) faktor
= am+n
|
a. 23 x 25
= 23+5=28
b. a4 x a5
= a4+5 = a9
c. (2x + 3)2
(2x + 3)3
= (2x + 3)2+3
= (2x + 3)5
|
2.
|
am : an = am-n,
m>n
|
am am-n+n am-n . an
an
an = an = an =
am-n . an = am-n . 1
= am-n
|
a. 36 – 34
= 36-4 = 32
b. (a-1)5
(a-1)2 = (a-1)3
|
3.
|
(am)n
= amxn
|
(am)n
= am x am x am x …(am)
n faktor
= (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x …)
m
faktor
m faktor
n faktor
= a x a x a x a x a = ... ...
... x a
(m x n ) faktor
= (a)mn
|
a. (23)4 = (2)3x4= 212
b. (x2)3 = (x)2x3 = x6
|
4.
|
(a x b)n
= an x bn
|
(a x b)n = (a
x b) x (a x b) x….x (axb)
n factor
= (a x a x
…x a) x (b x b x … x b)
n
faktor n faktor
= an
x bn
|
a. (2 x 3)4 = 24 x 34
b.(a2 x b3)4 =a8 x b12
|
5.
|
( a )n = an
b bn
|
( a )n = a/b
x a/b x a/b x …x a/b
b n faktor
= a x
a x a x … x a , n faktor
b x b x b x … x b , n factor
= an
bn
|
|
2. bentuk pangkat bulat
nol dan negatif
Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya,
sekarang kita akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk
pangkat bulat nol dan negatif . Bentuk
pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat
positif.
a. Pengertian Pangkat Nol
Untuk setiap a
€ R, maka ao = 1 (oo tidak didefinisikan)
Gunakan
sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan
pendefinisian.
ao . an = ao+n = an bagilah kedua ruas dengan an
sehingga diperoleh: ao+n = an
an an
ao
. an = an
an an
ao (1) = 1
ao =
1
b.
Pengertian pangkat bulat negatif
Jika a € R , a
≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a-n . 1 =
1 dan a-n = 1
a-n an
dari definisi
di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat
positif dan nol yaitu sebagai berikut:
an . a-n = an+(-n)
an
. a-n = ao
an
. a-n = 1
bagilah kedua ruas dengan an
, sehingga diperoleh:
an . a-n = 1 →
an . a-n = 1
→
1 . a-n = 1
→ a-n = 1
an an an an an an
Contoh
1. Tulislah dalam bentuk pangkat bulat
positif !
a. 3-2
b. (0,2)-3
c. (x + y)-3
d. (2a – 5b)-4
Jawab:
a. 3-2
= 1 b.
(0,2)-3 = 1 c. (x + y)-3 = 1
32 (0,2)3 (x +
y)3
d. (2a – 5b)-4
= 1
(2a
– 5b)4
1. Berikan sebuah contoh bahwa
pernyataan-pernyataan berikut salah !
ab-n = 1 b. 1
= a-1 + b-1
abn a + b
Jawab:
a. 2 . 3-2 = 2 dan 1
= 1 = 1
32 2.32 2. 9 18
= 2
9
Jadi 2 . 3-2 ≠ 1
2.32
b. 1
= 1 2-1 + 4-1 =
½ + ¼
2 + 4 6 dan = ¾
Jadi .
1 ≠
2-1 + 4-1
2 + 4
B. Bentuk Akar
Pada
materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat
beserta operasinya. Selanjutnya,
pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan berpangkat rasional,
yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.
Pengertian
bilangan rasional
Bilangan
rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b,
perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau sebagai bentuk desimal yang
berakhir/berulang secara periodik.
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai
perbandingan dua bilangan bulat !
a. 6 b. -30 c. 25%
d. 0,4 e. √4
Jawab:
a. 6 =
12 b.
-90 .
2 3
c. 2 5 =
¼ d. 0,4
= 4
100 10
d.
√4 = 2 = 2/1
1.
Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan
bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk
akar. Sifat-sifat tersebut dapat
dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar kuadrat.
Sifat-sifat
Bentuk Akar Kuadrat
NO.
|
Sifat-sifat
|
Bukti
|
Contoh
|
1.
|
(√x)2 = x
|
√x = a ↔
x = a2
Maka (√x)2 =
(a)2 = x
|
a.
(√5)2 = 5
b.
(√2a)2 = 2a
c.
(√x + 1)2 = x +
2√x + 1
|
2.
|
√xy = √x . √y
|
√x
= a ↔
x = a2
dan
√y = b ↔
y = b2, maka
√xy
= √a2 . b2
=
√(ab)2 = a b = √x
. √y
|
![]()
= 4√3
4√150
= 4√25 x 6
= 4 √25 x √6
= 4 (5) x √6
= 20√6
|
3.
|
√x/y = √x
√y
|
√x = a Jika dan hanya jika x = a2
√y = b Jika dan hanya jika y = b2
Maka,
√x/y = √a2/b2 =
√(a/b)2
= a = √x
b √y
|
√64/49 = √64 = 8
√49 7
|
4.
|
n√an = (an)1/n = a
,
a ≥0
|
Silahkan
buktikan
Sebagai
latihan!
|
3√8 = (8)⅓
= (23)⅓
= 23/3
= 1
|
5.
|
n√an
b = n√an x n√b
= a
n√b,
A dan b ≥0
|
Silahkan
buktikan
Sebagai
latihan!
|
√72 = √36 x 2 = √36 x √2
= (62)1/2 x
√2
= 6 √2
|
2.
Operasi Aljabar
Pada Bentuk Akar Kuadrat
Dengan
menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya
maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang dimaksud adalah
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi aljabar pada bentuk akar digunakan
untuk menyederhanakan bentuk akar.
3.
Penjumlahan dan
Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan
bentuk akar
Jika a , b, dan c anggota bilangan
real, maka a√c +
b√c = (a+b)√c
dan
a√c
- b√c =
(a-b)√c
Pembuktian sifat penjumlahan dan
pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif
perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real. Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau irracional sebab kedua bilangan itu termasuk
bilangan real.
a√c +
b√c = (a+b)√c
(sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
a√c
- b√c =
(a-b)√c (sifat distributif
perkalian terhadap pengurangan)
Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah
sebagai berikut:
1.
a√c + b√c
= (a+b)√c
2.
a√c - b√c
= (a-b)√c
3.
b n√ a x d n√ c = bd
n √ac
4. b n√ a : d n√
c =
b/d n √a/c
n√ a dan n√
c ada nilainya dan n bilangan bulat
positif lebih dari satu atau sama dengan dua.
4.
Perkalian
Bentuk Akar
Operasi Perkalian bentuk akar
Jika x , y anggota
bilangan real positif, maka:
√
x . √y
= √xy
5.
Pembagian
Bentuk Akar
Operasi
Pembagian Bentuk Akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka √x/y=√x √y
6.
Merasionalkan
Penyebut
Jika
kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk
menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar
penyebutnya. Proses menghilangkan bentuk
akar pada penyebut dinamakan merasionalkan
penyebut.
Untuk merasionalkan penyebut kita harus
mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan faktor yang sama yang dapat
merasionalkan penyebut. Untuk
memudahkan bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal
berikut:
1.
√a x √a akan
menghasilkan bilangan rasional a
2.
( a + √b)
x ( a -
√b) akan menghasilkan bilangan
rasional a2 - b
3.
(√a + √b)
x (√a - √b)
akan menghasilkan bilangan rasional a
- b
Pembuktian:
1.
√a x √a
= √a2 = a
2.
( a + √b)
x ( a - √b)
= a2 – a √b + a √b
- (√b)2 = a2
- b
3
(√a + √b)
x (√a - √b) =
(√a )2 - √a . √b
+ √a . √b - (√b)2 = a –
b
C. Logaritma
1. Pengertian
Logaritma
Pada
sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari perpangkatan. Bentuk an dikenal sebagai bilangan
berpangkat. a disebut basis dan n
disebut pangkat atau eksponen. Jika
nilai a dan n diketahui, maka nilai b = an
dapat dihitung dan b disebut numerus.
Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n apabila yang diketahui
nilai a dan b ?.silakan anda pahami bentuk kesamaan
24 = 16,
didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan
berpangkat 2n = 16.
4 disebut logaritma
dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = 2log 16.
Dengan demikian secara
umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut:
alog b = c
↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a,
b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma
Apabila
dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka dianggap
bilangan pokoknya adalah 10.
Contoh:
10log 10 = log 10 =
1 dan 10log 100 = log 100 =
2
2. Sifat-sifat Logaritma
Setelah
anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan dipelajari
sifat-sifat yang berlaku pada logaritma.
Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan sifat dasar logaritma.
2.1 Logaritma dari perkalian
Logaritma dari perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan
logaritma dari masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:
alog
MN = alog m + alog n, dengan syarat a
≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = an
↔ alog M = p dan
N = aq ↔ alog N = q sehingga
MN = ar ↔ alog MN = r
Karena ar
= MN, maka alog MN = r
= p + q = alog
M + alog N ( terbukti )
2.2 Logaritma dari pembagian
Logaritma dari pembagian 2 bilangan
sama dengan logaritma dari pembilang dikurangi logaritma dari penyebutnya,
didefinisikan sebagai berikut:
alog(M
: N) =
alog m – alog n, dengan syarat
a ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = an
↔ alog M = p dan
N = aq ↔ alog N = q
sehingga M:N = ar ↔
alog M : N = r
Karena ar
= M : N, maka alog ( M : N )
= r
= p - q = alog
M - alog N ( terbukti )
2.3 Logaritma dari perpangkatan
Logaritma dari perpangkatan suatu
bilangan adalah perkalian dari bilangan pangkat dengan logaritma bilangan
pokok.
alog
Mp =
p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0
2.4 Mengubah basis logaritma
Logaritma suatu bilangan sama
dengan logaritma bilangan tersebut dibagi dengan logaritma dari basisnya,
didefinisikan sebagai berikut:
Mlog N = aLog N
aLog M ,
dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M,
N > 0
Pembuktian:
Misal
M = ap ↔ alog M = p
N
= aq ↔ alog N = q
Maka MLOG N
= ap log aq = q
.ap log a = q .ap log (ap)1/p = q/p
= alog N
alog M
(terbukti)
2.5. Perpangkatan dengan logaritma
Perpangkatan
statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah bilangan (M) dengan basis sama
dengan bilangan pokok (a) didefinisikan sebagai berikut:
alog M
a = M , dengan syarat a ≠ 1
dan a, M > 0
Pembuktian:
Misal
alog M = p ↔ ap = M
Maka =
alog M
a = ap
= M (terbukti)
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Jika a
bilangan real dan n bilangan
bulat posotif, maka a pangkat n atau
pangkat n dari a ditulis an
yaitu: an = a x a x a
x ... x a yang terdiri dari n buah
faktor.
a disebut bilangan pokok/basis dan n
disebut pangkat/eksponen.
2. Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n € A dan a
€ R, maka:
am x an = a m+n
am : an = am-n,
m>n
(am)n = amxn
(a x b)n = an
x bn
(a : b)n
= an : bn
2. Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan
di bawah tanda akar bila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan
rasional.
Misal √2, √3, √5
adalah bentuk akar dan √4, √9, √16
adalah bukan bentuk akar.
3. Definisi
logaritma:
alog b = c ↔ ac
= b, dengan syarat a ≠ 1 dan a,
b > 0
a
disebut bilangan pokok (basis) logaritma
a. Sifat-sifat
logaritma:
1. alog M.N = alog
m + alog n, dengan syarat a
≠ 1 dan a, M, N > 0
2. alog(M : N) = alog m – alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
3. alog Mp = p. alog
M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0
4. Mlog N = aLog N
aLog M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0
alog M
5.
a = M , dengan syarat a ≠ 1
dan a, M > 0
6. alog b . b log c
. c log d = alog d
7. an
Log bm = m alog b
n
8. alog 1 = 0
9. alog an = n
10. alog b = 1
blog a
Tidak ada komentar:
Posting Komentar