BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat allah swt. Karena berkat dan karunianya penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik dan tepat waktu. Penulis ucapkan terima kasih kepada orang tua penulis yang telah memberikan dukungan waktu dan material. Tidak lupa juga penulis ucapkan terima kasih kepada teman – teman yang telah memberi masukan dan saran atas pembuatan makalah ini. Adapun isi makalah yang penulis bahas adalah BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

Penulis menyadari bahwa makalah ini belum sempurna.masih banyak kesalahan yang terjadi disana – sini. Maka dari itu kritik dan saran yang membangun sangat dibutuhkan penulis dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Akhir kata penulis ucapkan terima kasih!

Kandang, 20 September 2015

Penulis

DAFTAR ISI

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Modul ini terbagi atas tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar I, membahas tentang bentuk pangkat bilangan negatif. Pada kegiatan belajar II akan dipelajari tentang bentuk akar dan pangkat pecahan, hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan,hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan beserta sifat-sifatnya, menyederhanakan bentuk akar, operasi aljabar pada bentuk akar dan merasionalkan penyebut. Pada kegiatan belajar III membahas tentang logaritma, pengertian logaritma dan sifat-sifat logaritma.

B. Pokok Bahasan

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma.

BAB II

PEMBAHASAN

A.Bentuk Pangkat

1. pangkat bulat positif

Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real. Selanjutnya akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan pangkat negatif.

Bagaimana arti pangkat bulat positif ?

Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis aⁿ yaitu:

Aⁿ = a x a x a x ....x a,

n buah factor A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka a¹ = a

Sifat-sifat bilangan pangkat positif;

Jika m, n € A dan a € R, maka:

a^m x aⁿ = a ^m+n
a^m : aⁿ = a^m-n, m>n
(a^m)ⁿ = a^mxn
(a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ
(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Pembuktian Sifat-sifat bilangan pangkat positif

No.	Sifat-sifat	Bukti	Contoh
1.	a^m x aⁿ = a ^m+n	a^m x aⁿ = (a x a x a x…x a) x (a x a x a x…x a) m faktor n factor = a x a x a x a x a ……x a (m + n) faktor = a^m+n	a. 2³ x 2⁵ = 2³⁺⁵=2⁸ b. a⁴ x a⁵ = a⁴⁺⁵= a⁹ c. (2x + 3)² (2x + 3)³ = (2x + 3)²⁺³ = (2x + 3)⁵
2.	a^m : aⁿ = a^m-n, m>n	a^m a^m-n+na^m-n. aⁿaⁿ a^{n =} a^{n =}a^{n =}a^m-n .a^{n =}a^m-n . 1 = a^m-n	a. 3⁶ – 3⁴ = 3^6-4= 3² b. (a-1)⁵ (a-1)^{2 =}(a-1)³
3.	(a^m)ⁿ = a^mxn	(a^m)ⁿ = a^m x a^m x a^m x …(a^m) n faktor = (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x …) m faktor m faktor n faktor = a x a x a x a x a = ... ... ... x a (m x n ) faktor = (a)^mn	a. (2³)⁴ = (2)^3x4= 2¹² b. (x²)³ = (x)^2x3 = x⁶
4.	(a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ	(a x b)ⁿ = (a x b) x (a x b) x….x (axb) n factor = (a x a x …x a) x (b x b x … x b) n faktor n faktor = aⁿ x bⁿ	a. (2 x 3)⁴ = 2⁴ x 3⁴ b.(a² x b³)⁴ =a⁸ x b¹²
5.	( a )ⁿ = aⁿ b bⁿ	( a )ⁿ = a/b x a/b x a/b x …x a/b b n faktor = a x a x a x … x a , n faktor b x b x b x … x b , n factor = aⁿ bⁿ	( 2/3)² = 2²/3² (a/b)³ = a³/b³ (a²/b³)⁴=a⁸/b¹²

2. bentuk pangkat bulat nol dan negatif

Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif . Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat positif.

a. Pengertian Pangkat Nol

Untuk setiap a € R, maka a^o = 1 (o^o tidak didefinisikan)

Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian.

a^o . aⁿ = a^o+n = aⁿbagilah kedua ruas dengan aⁿ sehingga diperoleh: a^o+n = aⁿ

aⁿ aⁿ

a^o . aⁿ = aⁿ

aⁿ aⁿ

a^o (1) = 1

a^o = 1

b. Pengertian pangkat bulat negatif

Jika a € R , a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a^-n . 1 = 1 dan a^-n = 1

a^-n aⁿ

dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif dan nol yaitu sebagai berikut:

aⁿ. a^-n = a^n+(-n)

aⁿ . a^-n = a^o

aⁿ . a^-n = 1

bagilah kedua ruas dengan aⁿ , sehingga diperoleh:

aⁿ. a^-n = 1 → aⁿ . a^-n = 1 → 1 . a^-n = 1 → a^-n = 1

aⁿ aⁿ aⁿ aⁿ aⁿ aⁿ

Contoh

1. Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif !

a. 3^-2

b. (0,2)^-3

c. (x + y)^-3

d. (2a – 5b)^-4

Jawab:

a. 3^-2 = 1 b. (0,2)^-3 = 1 c. (x + y)^-3 = 1

3² (0,2)³ (x + y)³

d. (2a – 5b)^-4 = 1

(2a – 5b)⁴

1. Berikan sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !

ab^-n = 1 b. 1 = a^-1 + b^-1

abⁿ a + b

Jawab:

a. 2 . 3^-2 = 2 dan 1 = 1 = 1

3² 2.3² 2. 9 18

= 2

Jadi 2 . 3^-2 ≠ 1

2.3²

b. 1 = 1 2^-1 + 4^-1 = ½ + ¼

2 + 4 6 dan = ¾

Jadi . 1 ≠ 2^-1 + 4^-1

2 + 4

B. Bentuk Akar

Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta operasinya. Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.

Pengertian bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau sebagai bentuk desimal yang berakhir/berulang secara periodik.

Contoh:

Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat !

a. 6 b. -30 c. 25% d. 0,4 e. √4

Jawab:

a. 6 = 12 b. -90 .

2 3

c. 2 5 = ¼ d. 0,4 = 4

100 10

d. √4 = 2 = 2/1

1. Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat

Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar. Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar kuadrat.

Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat

NO.	Sifat-sifat	Bukti	Contoh
1.	(√x)² = x	√x = a ↔ x = a² Maka (√x)² = (a)² = x	a. (√5)² = 5 b. (√2a)² = 2a c. (√x + 1)² = x + 2√x + 1
2.	√xy = √x . √y	√x = a ↔ x = a² dan √y = b ↔ y = b², maka √xy = √a² . b² = √(ab)²= a b = √x . √y	√48 = √16 x3 = √16 x √3 = 4√3 4√150 = 4√25 x 6 = 4 √25 x √6 = 4 (5) x √6 = 20√6
3.	√x/y = √x √y	√x = a Jika dan hanya jika x = a² √y = b Jika dan hanya jika y = b² Maka, √x/y = √a²/b² = √(a/b)² = a = √x b √y	√64/49 = √64 = 8 √49 7
4.	ⁿ√aⁿ = (aⁿ)^1/n = a , a ≥0	Silahkan buktikan Sebagai latihan!	³√8 = (8)^⅓ = (2³)^⅓ = 2^3/3= 1
5.	ⁿ√aⁿb = ⁿ√aⁿ x ⁿ√b = aⁿ√b, A dan b ≥0	Silahkan buktikan Sebagai latihan!	√72 = √36 x 2 = √36 x √2 = (6²)^1/2x √2 = 6 √2

2. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat

Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi aljabar pada bentuk akar digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

3. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka a√c + b√c = (a+b)√c

dan

a√c - b√c = (a-b)√c

Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real. Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau irracional sebab kedua bilangan itu termasuk bilangan real.

a√c + b√c = (a+b)√c (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

a√c - b√c = (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)

Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:

1. a√c + b√c = (a+b)√c

2. a√c - b√c = (a-b)√c

3. b ⁿ√ a x d ⁿ√ c = bdⁿ √ac

4. b ⁿ√ a : d ⁿ√ c = b/dⁿ √a/c

ⁿ√ a dan ⁿ√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.

4. Perkalian Bentuk Akar

Operasi Perkalian bentuk akar

Jika x , y anggota bilangan real positif, maka:

√ x . √y = √xy

5. Pembagian Bentuk Akar

Operasi Pembagian Bentuk Akar

Jika x , y anggota bilangan real positif, maka √x/y=√x √y

6. Merasionalkan Penyebut

Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar penyebutnya. Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan merasionalkan penyebut.

Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut. Untuk memudahkan bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:

1. √a x √a akan menghasilkan bilangan rasional a

2. ( a + √b) x ( a - √b) akan menghasilkan bilangan rasional a² - b

3. (√a + √b) x (√a - √b) akan menghasilkan bilangan rasional a - b

Pembuktian:

1. √a x √a = √a²= a

2. ( a + √b) x ( a - √b) = a² – a √b + a √b - (√b)² = a² - b

3 (√a + √b) x (√a - √b) = (√a )² - √a . √b + √a . √b - (√b)² = a – b

C. Logaritma

1. Pengertian Logaritma

Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari perpangkatan. Bentuk an dikenal sebagai bilangan berpangkat. a disebut basis dan n disebut pangkat atau eksponen. Jika nilai a dan n diketahui, maka nilai b = an dapat dihitung dan b disebut numerus. Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n apabila yang diketahui nilai a dan b ?.silakan anda pahami bentuk kesamaan

24 = 16, didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan berpangkat 2n = 16.

4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = 2log 16.

Dengan demikian secara umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut:

alog b = c ↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka dianggap bilangan pokoknya adalah 10.

Contoh:

10log 10 = log 10 = 1 dan 10log 100 = log 100 = 2

2. Sifat-sifat Logaritma

Setelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan dipelajari sifat-sifat yang berlaku pada logaritma. Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan sifat dasar logaritma.

2.1 Logaritma dari perkalian

Logaritma dari perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan logaritma dari masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:

alog MN = alog m + alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = an ↔ alog M = p dan N = aq ↔ alog N = q sehingga MN = ar ↔ alog MN = r

Karena ar = MN, maka alog MN = r = p + q = alog M + alog N ( terbukti )

2.2 Logaritma dari pembagian

Logaritma dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari pembilang dikurangi logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai berikut:

alog(M : N) = alog m – alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = an ↔ alog M = p dan N = aq ↔ alog N = q sehingga M:N = ar ↔ alog M : N = r

Karena ar = M : N, maka alog ( M : N ) = r = p - q = alog M - alog N ( terbukti )

2.3 Logaritma dari perpangkatan

Logaritma dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari bilangan pangkat dengan logaritma bilangan pokok.

alog Mp = p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0

2.4 Mengubah basis logaritma

Logaritma suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan tersebut dibagi dengan logaritma dari basisnya, didefinisikan sebagai berikut:

Mlog N = aLog N

aLog M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = ap ↔ alog M = p

N = aq ↔ alog N = q

Maka MLOG N = ap log aq = q .ap log a = q .ap log (ap)1/p = q/p = alog N

alog M (terbukti)

2.5. Perpangkatan dengan logaritma

Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah bilangan (M) dengan basis sama dengan bilangan pokok (a) didefinisikan sebagai berikut:

alog M

a = M , dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0

Pembuktian:

Misal alog M = p ↔ ap = M

Maka = alog M

a = ap

= M (terbukti)

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis aⁿ yaitu: aⁿ = a x a x a x ... x a yang terdiri dari n buah faktor.

a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.

2. Sifat-sifat bilangan pangkat positif;

Jika m, n € A dan a € R, maka:

a^m x aⁿ = a ^m+n

a^m : aⁿ = a^m-n, m>n

(a^m)ⁿ = a^mxn

(a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

2. Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.

Misal √2, √3, √5 adalah bentuk akar dan √4, √9, √16 adalah bukan bentuk akar.

3. Definisi logaritma:

^alog b = c ↔ a^c = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

a. Sifat-sifat logaritma:

1. ^alog M.N = ^alog m + ^alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

2. ^alog(M : N) = ^alog m –^alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

3. ^alog M^p = p. ^alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0

4. ^Mlog N = ^aLog N

^aLog M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0

^alog M

5. a = M , dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0

6. ^alog b . ^b log c . ^c log d = ^alog d

7. aⁿ

Log b^m = m ^alog b

8. ^alog 1 = 0

9. ^alog aⁿ = n

10. ^alog b = 1

^blog a

pengetahuan

Kamis, 19 November 2015

makalah

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Pokok Bahasan

BAB II

PEMBAHASAN

A.Bentuk Pangkat

B. Bentuk Akar

C. Logaritma

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Tidak ada komentar:

Posting Komentar